В школе нас приучают остерегаться ошибок и стремиться делать все правильно. Джо Боулер, профессор методики обучения математике в Стэнфордском университете, уверена, что все устроено ровно наоборот. Новейшие исследования показывают, что наш мозг развивается, когда мы делаем ошибки в математике, а вера в себя позволит выучить что угодно.

То, насколько вы верили в свой потенциал, влияло на ваше обучение и ваш опыт — и продолжает влиять сейчас. Например, очень многие люди уверены, что у них «нематематический склад ума». Эта мысль в корне ошибочна, она опровергается научными исследованиями мозга. Но ее подпитывает один миф, который силен в нашем обществе. Это миф о том, что существует «математический мозг», с которым ты родился или нет.

Джо Боулер

Профессор методики обучения математике в Стэнфордском университете, автор ряда книг по математическому мышлению, гендиректор и соучредитель YouCubed, университетского портала, предлагающего всем желающим ресурсы для математического образования

При этом мы не думаем, что родились с «историческим» или «физическим» мозгом. Но в существование мозга «математического» верят студенты, учителя, родители. И пока мы не изменим этот миф, у нас будут низкие результаты.

Исследование типов мышления, проведенное профессором психологии Стэнфордского университета Кэрол Дуэк, показывает: если вы верите в свой безграничный потенциал, вы достигнете высочайшего уровня и в математике, и в жизни.

Одно исследование ошибок очень ярко демонстрирует это. Джейсон Мозер и его коллеги обнаружили на снимках МРТ, что в тот момент, когда человек делает математическую ошибку, его мозг развивается. Ошибка «зажигает» связи между нейронами, синапсы. Когда мы все делаем верно, активируется меньше таких связей. Мы хотим, чтобы студенты это знали.

Ученые установили еще один поразительный факт: люди с гибким сознанием, которые верят в то, что могут измениться и научиться новому, действительно могут выучить что угодно.

Когда они делают ошибку, их мозги развиваются больше, чем у людей, которые считают способности врожденными. Это показывает нам то, что ученые-когнитивисты уже давно знали, — наши когнитивные способности зависят от того, во что мы верим и что мы чувствуем. 

Это важно понимать всем нам, а не только школьникам на уроке математики. Если вы попали в сложную ситуацию и думаете про себя: «Я могу это сделать», ваш мозг будет расти быстрее и реагировать иначе, чем если ваш внутренний голос говорит: «Я не думаю, что я могу это сделать».

Так что нам действительно важно изменить ту установку, которую дети получают на уроках.

Мы теперь знаем, что каждый человек может развить свой мозг и мозги так пластичны, что позволяют изучить любые уровни математики.

Нам нужно донести это до детей. Они должны понять, что ошибки — это хорошо. Но уроки математики нужно изменить во многих аспектах, не только в плане детского восприятия. Мы должны фундаментально изменить то, что происходит на уроках.

Мы хотим, чтобы у детей было гибкое сознание, чтобы они поверили: они могут развиваться и выучить что угодно. Но очень трудно иметь такую установку в математике, потому что мы предлагаем детям «закрытые» вопросы, на которые есть только два варианта ответа: правильный и неправильный. Мы должны задавать на математике открытые вопросы, чтобы они давали пространство для обучения и развития.

Вот пример типичной математической задачи, которую решают в школе. Я бы хотела, чтобы вы подумали о ней с новой стороны:

Снимок экрана 2018-09-06 в 14.13.03.png

Предположим, что у нас есть три варианта фигур из кубиков — три пирамидки, каждая следующая больше, чем предыдущая. Обычно после этого спрашивают, сколько кубиков будет в сотой пирамидке или в n-ной пирамидке. Но я бы хотела, что вы подумали о другом — безо всяких цифр и алгебры. Как вы видите эти дополнительные кубики? Если во втором случае больше кубиков, чем в первом, то как они появляются?

Разные люди отвечают на этот вопрос по-разному. Кто-то — кажется, это был мой студент старшего курса в Стэнфорде — сказал мне: «Это похоже на капли дождя, когда они падают на вершину. Как верхний слой, который растет все больше». Другой человек увидел здесь дорожку для боулинга: дополнительный уровень пирамиды — как ряд появляющихся кеглей. Эти фигуры можно увидеть очень по-разному.

Один учитель сказал мне, что это похоже на вулкан: «Центр поднимается вверх, и лава выплескивается наружу».

Кто-то видит здесь треугольники. Для них приращение пирамиды — это увеличение внешнего треугольника. Даже был один учитель из Нью-Мехико, который заявил: «О, это как в „Мире Уэйна“ — „дорога ведет на небеса, но доступ запрещен“, поэтому поднимаешься вверх и затем спускаешься».

Но есть более простой способ посмотреть на эту задачу. Если совсем немного поменять форму фигурок из кубиков, то мы увидим, что они растут так же, как квадраты. Поэтому эту задачку с вопросом, как много кубиков в каждой пирамиде, легко решают дети на уроках. Они ответят, что в первой пирамидке с основанием из трех квадратиков четыре кубика, во второй (с основанием 5) — 9.

Дети легко выведут формулу, что достаточно добавить единицу к номеру пирамидки и возвести в квадрат, чтобы получить число кубиков в пирамиде.

Но когда тот же вопрос задаешь студентам или учителям средней школы, они не могут ответить, почему это должно возводиться в квадрат и откуда появилась эта функция.

Если представить все это зрительно, то сразу видно, что функция растет так же, как большой квадрат. Поэтому, когда мы даем нашим студентам математические задачи, мы просим решать их визуально. 

Они всегда бурно обсуждают эти задачи — и заодно получают куда более глубокое понимание очень важных вещей в математике.

Нам действительно нужна революция в преподавании математики. Ведь на самом деле исследования того, как преподают и изучают математику, ведутся вовсе не ради школы и уроков.

Вот поразительный пример результатов этих исследований. Когда мы, взрослые, делаем вычисления, то включается определенная область мозга — в зависимости от того, прибегаем мы к помощи пальцев или нет. 

Оказывается, что мозгу действительно важно видеть пальцы! Ученые тестируют такое восприятие пальцев, предлагая нескольким людям держать руки под столом и определить, какого из пальцев коснулись.

Уровень чувствительности пальцев у студентов может предсказать их вычислительные способности. Более того, этот показатель лучше предсказывает успехи в математике, чем результаты тестов. Это действительно важно. 

Но что происходит на уроках в школе? Ученикам не разрешают использовать пальцы. Им говорят, что это слишком по-детски, и они переживают из-за этого. Но когда мы запрещаем детям учить цифры с помощью пальцев, мы снижаем их вычислительные способности.

Ученые знали это уже давно. Нейробиологи заключили, что ученики должны использовать пальцы, чтобы учить цифры и арифметику. Я не знаю ни одного преподавателя, который бы был в курсе этого открытия.

Есть много других исследований, которые не знакомы учителям и школам. Например, теперь известно, что, когда человек выполняет вычисления, его сознание вовлечено в сложную и динамичную коммуникацию между разными областями мозга, включая зрительную кору. Хотя на первый взгляд задачи по математике не визуальны — они все находятся в абстрактной области цифр.

Прошлым летом мы в Стэнфордском университете решили попробовать обучать студентов иначе. Мы рассказали им о развитии мозга, о типах мышления и ошибках. Мы также учили их креативной, визуальной, красивой математике.

Всего мы провели 18 уроков для группы из 81 студента. Прежде чем они пришли к нам, они прошли стандартный тест. В конце наших 18 уроков мы дали им похожий тест — и их результаты улучшились в среднем на 50%. Все студенты — самых разных уровней — сказали нам в первый день, что у них нет «математического ума». Мы изменили их веру в себя. По окончании курса они даже сняли музыкальный клип о нашей математике.

Нам нужно доводить исследования до учителей. Нам нужна революция в обучении математике. Если вы не верите мне — послушайте этого ученика средней школы, учителей которого мы научили заменять таблицы открытой математикой, развивающей мышление. Вот его слова: «В прошлом году уроки математики состояли только из бесконечных записей и материалов — нас как будто засунули в коробку. Но в этом году все открыто, мы все работаем вместе, чтобы создать новый красивый мир. Я думаю, что если я продолжу прикладывать все усилия, то однажды я создам свое будущее».

Мы так долго обсуждали, как нужно обучать математике, как лучше всего учить дробям, какие стандарты мы используем на уроках — и мы совершенно игнорировали веру самих учеников в их собственный потенциал. И только сейчас пришло время, когда нам нужно осознать то новое, что постепенно становится ясно. Мы все должны поверить в себя, чтобы раскрыть свой безграничный потенциал.